Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

 

Ejemplo:

 

La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas edades.

 

Solución:

Sea x=edad de A.

Como B tiene 8 años menos que A; x-8=edad de B.

La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemos la ecuación:

x + x − 8 = 84

Resolviendo esta ecuación con la calculadora, tenemos x=46, la cual representa la edad de A.

La edad de B será x − 8 = 46 − 8 = 38 años.

Nota la verificación de los resultados es importante, porque permite percatarse si se satisfacen las condiciones iniciales del problema.

En este caso las condiciones iniciales serıa que la suma de las edades de A y B son 84, como efectivamente es, pues; 46+38=84.

 

Ejemplo:

 

Pague $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costo $5 más que el libro y $20 menos que el traje. ¿Cuánto pague por cada artıculo?

 

Solución:

No esta de mas decir que la asignación de la letra”x” tiene mucho que ver en la simplicidad de la resolución del problema.

Sea x=precio del libro. Como el sombrero costo $5 más que el libro:

X + 5 = precio del sombrero

El sombrero costo $20 menos que el traje; luego, el traje costo $20 mas que el sombrero;

X + 5 + 20 = x + 25 = precio del traje.

Como todo costo $87; la suma de los precios del libro, del sombrero y el traje tiene que ser igual a $87: de aquí tenemos la ecuación,

x + x + 5 + x + 25 = 87

Usando cualquier método para encontrar el valor buscado, tenemos que x=19, $19 precio del libro.

 

X+5=19+5=24, $24 precio del sombrero y

 

x+25=19+25=44, $44 precio del traje.

Chequeando el resultado con las condiciones iniciales; 19+24+44=87.

 

Ejemplo:

La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.

 

Solución:

 

Resolveremos este ejemplo de dos formas diferentes.

CASO 1:

Divida 156 entre 3.

El cociente 52, representa uno de los números buscado, el del centro para ser exactos. Los otros dos son 51 y 53. Uno menos y uno más.

 

CASO 2:

Sea x=numero menor, sea x+1= numero siguiente y x+2=numero siguiente al anterior.

Como la suma debe ser 156, hacemos la ecuación:

x + x + 1 + x + 2 = 156

Resolviendo esta ecuación, obtenemos x=51.

Luego, x+1=51+1=52, y x+2=51+2=53.

De tal forma que los números son: 51-52-53.

Comprobando estos tres números consecutivos enteros: 51+52+53=156.

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Problemas de Aplicación

 

 

1. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar ambos números.

R: 49 y 57.

2. La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar ambos números. R: 254 y 286.

3. Entre A y B tiene $1154 y B tiene $506 menos que A. ¿Cuantos dólares tienen cada uno?

R: 324 y 830.

4. Tomas tiene $13 más que Ricardo. ¿Cuanto dinero tiene cada uno si entre ambos los dos reúnen $29?

R: $8 y $21.

5. Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24.

R: 41 y 65.

6. Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.

R: 303 y 339.

7. A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años. ¿Que edad tiene cada uno?

R: 21 y 35.

8. Repartir 1080 colones entre A y B de modo que A recibe 1014 mas que B.

 R: 33 y 1047.

9. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.

R: 51 y 52.

10. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 57.

R: 18, 19 y 20.

11. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar estos tres números. R/67, 68 y69.

12. Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74.

R: 17, 18, 19 y 20.

13. Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.

 R: 62, 64 y 66.

14. Hallar tres números enteros consecutivos pares cuya suma sea 486.

R: 160, 162 y 164.

15. La suma de tres números enteros pares consecutivos es 102. ¿Cuales son los números?

R: 32,34 y36.

16. Pague $325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costo $80 mas que el coche y los arreos $25 menos que el coche. Hallar los precios respectivos. R: $90, $170y $65.

17. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.

R: 99, 67 y 34.

18. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuantas manzanas hay en cada cesto?

 R: 200, 190 y 185 manzanas.

19. Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menores que el del medio y 70 unidades menor que la mayor.

R: 123, 138 y 193.

20. Repartir 310 dólares entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera.

R: 110, 130 y 70 dólares.

21. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.

R: 42, 22 y 24 años.

22. Hallar la longitud de cada lado de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 82 metros y que un lado es 7 veces mayor que el otro.

R: 17 y 24.

1. La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas edades.

R: 10 y 30 años.

2. Se ha comprado un caballo y sus arreos por $600. Si el caballo costo cuatro veces los arreos, ¿Cuanto costo el caballo y cuanto los arreos?

R: $120 y $480.

3. En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?

R: 16 y 32 habitaciones.

4. Hallar dos números tales que uno es el doble aumentado en cuatro del primero y que sumados dan 57.

R: 11 y 26.

5. Hallar dos números tales que uno sea 5 veces menor que el triple del otro y que la suma de ambos sea 19.

R: 6 y 13.

6. Encontrar las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 84 metros y que el largo es el doble del ancho.

R: 14 de ancho y 28 de largo.

7. Repartir 300 colones entre A, B y C de modo que la parte de B sea el doble que la de A y la de C el triplo de la de A.

R: 50 para A, 100 para B y 150 para C.

8. Repartir $133 entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y la de C el doble de la de B.

R: $19 de A, $38 de B y $76 de C.

9. El mayor de dos números es 6 veces el menor y ambos números suman 147. R: 21 y 146.

10. Repartir $140 entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad de la de A y un cuarto de la de C.

R: $40 de A, $20 para B y $80 a C.

11. Dividir el número 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera.

R: 85, 340 y 425.

12. El duplo de un número equivale al número aumentado en 111. Encontrar el número.

R: 111.

13. La edad de Marıa es el triple de la de Rosa mas quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.

R/11 y 48 años.

14. Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en 21. Encontrar dicho número.

R: 3.

15. Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendría 100 años. ¿Que edad tengo?

R: 31 años.

16. Encuéntrense dos números tales que uno sea 4 veces mayor que el doble del otro y que la suma de ambos sea 37.

17. Dividir 96 en tres partes tales que la primera sea el triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda.

R: 36, 12 y 48.

18. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; y la de Juan el triplo de la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿Qué edad tiene cada uno?

R/Pedro 22, Enrique 11, Juan 33 y Eugenio 66 años.

19. Deseo repartir $12 000 entre 4 personas de tal manera que a la segunda le corresponda la mitad de lo que le corresponde a la primera, a la tercera persona le corresponde la mitad de lo que reciban la primera y la segunda juntas y a la cuarta persona le corresponda la tercera parte de lo que reciba la tercera persona. ¿Cuanto recibe cada una?

R: La primera persona $4800, la segunda $2400, la tercera $3600 y la cuarta

$1200.